tl; dr: For et gitt par legemer i sirkulære baner rundt massesenteret er det to symmetriske familier ("nordlige" og "sørlige") med riktige gloriebaner assosiert med hver av Lagrangian-punktene L1, L2 og L3. Vi snakker vanligvis bare om de med L1 og L2 fordi L3 er så langt borte fra sekundærlegemet (Jorden i tilfelle av Sun-Earth Lagrangian-punkter, Månen når det gjelder Earth-Moon). Så du trenger tre parametere; to oppregninger og en flytende verdi. 1) Nord eller Sør, 2) L1, L2 eller L3-assosiert, og 3) noe flytende nummer som representerer posisjonen som bane ligger i mellom de to ytterste ender av familien der den enten slutter eller forgrenes. Så langt vet jeg ikke om det har en generelt akseptert parameterisering som alltid fungerer, eller ikke. Jeg er ikke sikker på om noe enkelt som "energi" ( $ C_3 $ ) eller en eller annen amplitude eller avstand vil fungere uten tvetydigheter i noen tilfeller.

Som et praktisk svar kan du beskrive en periodisk halobane med en amplitude i plan $ A_Y $ og amplitude utenfor flyet $ A_Z $ til noen, og så kunne de prøve å beregne bane og finne X-, Y- og Z-posisjonene som en funksjon av tiden for å få bevegelsen i rommet, og deretter bestemme når banen vil bli blokkert fra punkter på jorden av månen. Jeg diskuterer dette videre i dette svaret, men se bildene nedenfor fra Robert W. Farquhars hundre sider tome The Utilization of Halo Orbits in Advanced Lunar Operations, NASA Tech. Merk D-6365.

Men husk: dette er kun for * sirkulære baner av to kropper, og den virkelige månens bevegelse (og andre effekter) er mer kompleks.

avsnitt II.B.2.b, påpeker han:

For hver verdi på $ A_y $ > 32 871 km er det en tilsvarende verdi på $ A_z $ span > som vil produsere en nominell bane der de grunnleggende periodene til y-aksen og z-aksen svinger er like. I dette tilfellet vil den nominelle banen sett fra jorden aldri passere bak månen. Det eksakte forholdet mellom $ A_y $ , og $ A_z $ , for denne familien av nominelle baner er gitt i Figur 5.

Det ekstremt kult og fargerikt papir EJ Doedel et al, (2007) Elementære periodiske baner assosiert med librasjonspunktene i det sirkulære begrensede 3-kroppsproblemet International Journal of Bifurcation and Chaos 17, 2625 (2007). https://doi.org/10.1142/S0218127407018671 bygger et system med illustrasjoner som viser alle kjente, periodiske baner i CR3BP (Circular Restricted Three-Body Problem ). Dette inkluderer mange typer eller klasser av baner som vist i tabellen, men ekskluderer Lissajous Baner fordi de ikke er generelt periodiske. (merk: ignorere tegningen i Wikipedia-artikkelen!)

Du kan og sannsynligvis bør også laste ned papiret fra det ikke-betalte veggen ResearchGate -siden, lage litt kaffe, og bruk deretter seks måneder på å nyte den.

Det er også en kopi av deres tidligere papir tilgjengelig som ikke er lønnet: Beregningen av periodiske løsninger for 3-kroppsproblemet ved hjelp av den numeriske fortsettelsen Programvare AUTO DJ Dichmann, EJ Doedel og RC Paffenroth Int. Konf. på Libration Point Orbits and Applications, Aiguablava, Spania, 10.-14. juni 2002

Jeg har laget tre montasjer av figur 3 med figur 13 (L1), 14 (L2) og 15 (L3) og vist dem nedenfor. For hver vises bare den nordlige Halo-banen, den sørlige ville bli reflektert symmetrisk under planet. Disse tegningene bruker Earth-Moon-systemet for enkel visualisering, og figur 3 er for masseforholdet mellom månen og jorden ( $ \ mu \ approx. 0,01215 $ ).

Du kan også se hvordan du genererer og plotter noen Halo-baner med Python ved hjelp av skriptet i spørsmålet Hvordan tenker du best på State Transition Matrix, og hvordan å bruke den til å finne Halo-baner? som kommer fra det klassiske papiret skrevet av Kathleen Connor Howell Tredimensjonale, periodiske "Halo" -baner Celestial Mechanics 32 (1984) 53-71.

Bildetekst for figur 3: (den nedre delen med alle albuene):

Fig. 3. Bifurcasjonsdiagram for Earth – Moon-systemet (μ = 0,01215), som viser familier med periodiske baner som kommer fra libreringspunktene og fra påfølgende grenpunkter. De røde kubene er librasjonspunktene. Små hvite sfærer betegner forgreningspunkter, og små mørkerøde sfærer betegner kollisjonsbaner. De plane familiene C1, C2 og D1 er bare delvis representert; spesielt er ikke det faktum at D1 oppstår fra C1 via en periodedobling forgrening indikert i diagrammet. En ordliste over notasjonen som er gitt er gitt i tabell 1.